slick - the last carousel you'll ever need

なんと、初期設定で、
pauseOnFocusとpauseOnHoverがtrueになっている。
なので、初期設定ではそのスライダーにフォーカスした時(フォーカスした時ってなんなのですかね、ホバーとなにが違うのか)と、スライダーをホバーしたときはAutoplayが止まるようになっていた。これが原因。なので、オフにしてあげれば良い。
$('.mainVisualSlider').slick({ autoplay: true, autoplaySpeed: 6000, pauseOnFocus: false, pauseOnHover: false });